2Nous allons donner quelques exemples de démonstrations dans ces traités en nous intéressant à la structure argumentative à l’échelle du traité et à celle de la preuve. Nous montrerons comment la logique intervient dans l’écriture des preuves. Nous verrons enfin comment les débats, qui structurent la vie universitaire à l’époque de la rédaction de ces traités, sont reflétés dans ces textes.

1. Structure des traités

1.1 Le De continuo de Thomas Bradwardine

1.2 Le Tractatus de proportionibus de Thomas Bradwardine

Et la première est celle-ci : tous les rapports, dont les dénominations sont les mêmes ou égales, sont égaux.

• 20 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 76 : « Quarum haec (...)

La deuxième est : étant donné deux extrêmes quelconques, un médian étant interposé ayant à chacun d’eux un rapport, le rapport du premier au troisième sera composé du rapport du premier au deuxième et du rapport du deuxième au troisième20. 

10Soulignons que Thomas Bradwardine présente ces suppositions comme des vérités (vera) :

• 28 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 132: « Quia per qua (...)

Puisque, à partir de ce qui a été dit et sans avoir à supposer beaucoup d’autres vérités, on peut connaître facilement le rapport des éléments entre eux, et puisque ce savoir est pleinement en accord avec la philosophie naturelle, mais qu’il est resté ignoré jusqu’à maintenant, nous lèverons son secret, même si ce n’est pas très pertinent pour le propos présent. Les vérités qui doivent être posées sont les suivantes : […]28. 

1.3 Le traité De proportionibus proportionum de Nicole Oresme

12Comme nous venons de le voir, les traités de Thomas Bradwardine, le De continuo et le Tractatus de proportionibus, présentent une structure bien définie ; les conclusions s’y enchaînent à partir de prémisses posées préalablement. La structure du traité De proportionibus proportionum de Nicole Oresme est plus floue, même si localement les conclusions s’enchaînent à partir de prémisses explicitées. Toutefois, certaines conclusions sont annoncées mais ne sont démontrées que plus loin. Et Nicole Oresme évoque à plusieurs reprises la notion de dénomination d’un rapport avant d’en proposer un exposé. Ainsi, Nicole Oresme ne respecte pas toujours l’ordre logico-déductif. Malgré tout, le style d’exposition est proche de celui des deux traités de Thomas Bradwardine.

1.4 Les Questiones circa Tractatum proportionum de Blaise de Parme

15Dans les secondes parties des Questiones, lorsque Blaise de Parme propose sa thèse, on trouve là encore une structure déductive que nous qualifions de « locale » : des définitions, des suppositions, des conclusions qui s’enchaînent. Et comme chez Thomas Bradwardine ou Nicole Oresme, les suppositions sont pour la plupart des propositions tirées d’ouvrages de référence comme les éléments d’Euclide, la Physique d’Aristote ou encore le traité Du ciel. Signalons que le plus souvent Blaise de Parme parle de notationes plutôt que de suppositiones. À notre connaissance, il n’existe pas de textes qui codifient ces deux termes, à son époque. Nous pouvons remarquer que dans le texte de Blaise de Parme, les notationes englobent en quelques sortes les suppositiones : une supposition peut être introduite par « noto ». Mais, alors qu’une suppositio est en général une proposition énonçant une propriété, une notatio apporte le plus souvent une précision à propos d’une notion donnée. Ainsi, dans la question 10, on peut lire :

[…] premièrement, il faut noter qu’il y a certaines actions dans lesquelles l’agent s’assimile son patient […] et certaines actions dans lesquelles l’agent ne s’assimile pas son patient.

• 34 Joël Biard & Sabine Rommevaux (2005), Blaise de Parme, Questiones circa Tractatum proportionum, p.  (...)

Je note deuxièmement que lorsque qu’il est demandé : “est-ce que la rapidité suit tel ou tel rapport ?”, par rapidité nous pouvons entendre deux choses. Nous pouvons premièrement entendre l’accélération de l’agent dans le patient […]. D’une autre manière, par rapidité nous pouvons entendre l’effet produit ou susceptible d’être produit par l’agent sur le patient34. 

16Dans la première notatio, il s’agit de distinguer deux formes d’actions ; dans la deuxième, de distinguer deux sens possibles du terme rapidité. La troisième notatio énonce une propriété et elle est dite suppositio :

• 35 Joël Biard & Sabine Rommevaux (2005), Blaise de Parme, Questiones circa Tractatum proportionum, p.  (...)

Je note troisièmement, et c’est une supposition sous cette forme, qu’il n’arrive pas qu’un agent agisse au-delà de son degré propre d’activité35. 

17La quatrième notatio énonce elle aussi une propriété, mais n’est pas appelée supposition :

• 36 Joël Biard & Sabine Rommevaux (2005), Blaise de Parme, Questiones circa Tractatum proportionum, p.  (...)

Je note quatrièmement que tout agent agissant naturellement peut s’assimiler le patient36. 

18Pour conclure sur la structure globale des traités, nous retiendrons l’enchaînement des conclusions à partir de prémisses posées au début du traité ou en cours d’exposé.

19Venons-en maintenant aux démonstrations de ces conclusions.

2. Types de démonstrations

2.1. Preuve de la règle du mouvement par Thomas Bradwardine

20Le troisième chapitre du Tractatus de proportionibus de Thomas Bradwardine est consacré à l’établissement de la règle du mouvement qu’il soutient, et selon laquelle le rapport entre les rapidités dans les mouvements découle du rapport de la puissance du moteur à la puissance de la chose mue. Il la justifie par des citations d’Aristote et d’Averroès, qui montrent que l’égalité des rapports entre puissances et résistances est la cause de l’égalité des rapidités, et que par conséquent, la variation de ce rapport induit la variation des rapidités. Notons que certaines de ces citations venaient appuyer les thèses adversaires qu’il a réfutées dans le chapitre précédent, mais ce sont les interprétations qui en sont faites qui divergent.

21À la suite de cette liste de citations, Thomas Bradwardine conclut :

• 37 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 112 : « Praeterea, (...)

Enfin, on ne voit pas quelle opinion pourrait raisonnablement préserver le rapport entre les rapidités dans les mouvements, si ce n’est l’une de celles qui ont été exposées. Mais les quatre premières ont été réfutées. Donc il ne reste que la cinquième qui soit vraie37. 

22Ainsi, la démonstration de la règle est fondée sur un principe d’exclusion. Selon Thomas Bradwardine, il n’y aurait que cinq manières d’envisager mathématiquement le lien entre rapidité et rapport de la puissance à la résistance ; il a été démontré que quatre de ces modes devaient être rejetés, il ne reste que le cinquième. Il faut souligner qu’il n’y a aucun recours à l’expérience dans cette preuve.

2.2. Mise en évidence de la structure logique de la preuve

23Dans le De continuo de Thomas Bradwardine, les deux premières conclusions sont les suivantes :

• 38 John E. Murdoch (1957), Geometry and the Continuum, p. 339 : « 7. Indivisibile est quod numquam div (...)

Conclusion 1 : Aucun indivisible n’est plus grand qu’un autre. Cette conclusion est clairement déduite de la septième définition et de la première supposition38. 

• 39 John E. Murdoch (1957), Geometry and the Continuum, p. 350 : « Prima conclusio: nullum indivisibile (...)

Conclusion 2 : Si deux continus de même espèce sont composés d’indivisibles en nombre égal, ils sont égaux entre eux. Cela est clair d’après la conclusion précédente et cette prémisse commune : “si des égaux sont ajoutés à des égaux, sont obtenus des égaux”39. 

24Il est inutile de multiplier les exemples. Nous trouvons dans le De continuo une série de preuves semblables à ces deux premières, où sont seulement précisées les suppositions ou les conclusions nécessaires à la démonstration, sans que celle-ci soit développée. Nous pouvons observer la même chose dans le Tractatus de proportionibus, par exemple au chapitre III :

• 40 C’est-à-dire qu’il n’y a pas de mouvement quand la puissance du moteur est plus petite ou égale à l (...)
• 41 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 114 : « Ex nulla pr (...)

Il ne suit aucun mouvement d’un rapport d’égalité ou de plus petite inégalité du moteur à la chose mue40. On démontre cette conclusion grâce à la première conclusion du troisième chapitre et aux septième et huitième conclusions du premier chapitre, auxquelles est ajoutée cette supposition, connue par soi : “tous les mouvements de même espèce peuvent être comparés entre eux selon la rapidité ou la lenteur”41. 

26Dans les deux traités de Thomas Bradwardine, certaines preuves sont ainsi réduites à l’énumération des définitions, suppositions ou conclusions dont découle la conclusion à démontrer. Mais la majorité des preuves sont plus élaborées. Prenons l’exemple d’une proposition mathématique dans le Tractatus de proportionibus :

Première conclusion : Si l’on a un rapport de plus grande inégalité d’une première quantité à une deuxième, comme de la deuxième à une troisième, le rapport de la première à la troisième sera précisément double du rapport de la première à la deuxième ou de celui de la deuxième à la troisième.

• 44 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 78 : « Prima conclu (...)

On prouve directement cette conclusion de cette manière : les dénominations des rapports de la première à la deuxième et de la deuxième à la troisième sont les mêmes ou semblables, donc, d’après la première supposition, ces rapports sont égaux. Et d’après la deuxième supposition, le rapport de la première à la troisième est composé précisément de ces rapports. Donc, d’après la définition de “double”, celui-ci est précisément double de chacun d’eux. Et c’est ce que nous voulions montrer44. 

27Thomas Bradwardine considère ici trois grandeurs, notez-les A, B et C, telles que les dénominations des rapports de A à B et de B à C sont égales, la dénomination d’un rapport étant la quantité que l’on peut associer à ce rapport. Dans une supposition, Thomas Bradwardine a posé que les rapports sont égaux si leurs dénominations sont égales. Il a par ailleurs supposé que si une quantité B est interposée entre deux quantités A et C, le rapport de A à C est dit être composé à partir du rapport de A à B et du rapport de B à C. Il a enfin défini le double d’un rapport : si A, B et C sont telles que les rapports de A à B et de B à C sont égaux, le rapport de A à C est dit le double du rapport de A à B. Au cours de la preuve, les références aux définitions, suppositions ou conclusions à utiliser sont explicitées et l’argumentation est mise en forme.

28Examinons un autre exemple concernant l’étude du mouvement, toujours dans le Tractatus de proportionibus :

• 45 Les corps sont de compositions semblables de sorte que leurs lourdeurs et leurs légèretés sont prop (...)
• 46 Les rapports de C à D et de E à F sont égaux (C/D = E/F), avec C>F, donc C+F >D+E.
• 47 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 116 : « […] si duo (...)

[…] si deux corps lourds mixtes inégaux, de compositions semblables, sont suspendus à l’équilibre dans le vide, le plus lourd descendra. En effet, soient A et B deux tels corps lourds, A étant plus lourd, et B moins lourd. Soit C la lourdeur de A et D, semblablement, sa légèreté. Et soit E la lourdeur de B et F sa légèreté. C, D, E, F sont donc quatre termes proportionnels45, C étant le plus grand et F le plus petit. Alors, d’après la huitième supposition du premier chapitre, C et F pris ensemble excèdent D et E pris ensemble46. Or C et F sont utiles pour élever B, et D et E résistent seulement. Donc, d’après la seconde partie de la neuvième conclusion de ce chapitre, B monte et A descend47. 

29Là encore, la preuve est développée, avec renvoi aux suppositions et conclusions utilisées.

30Le même type de démonstration se retrouve dans De continuo. Prenons l’exemple d’une démonstration par l’absurde :

Conclusion 3 : Pour aucun continu plusieurs indivisibles sont situés dans un même lieu indivisible.

• 48 Murdoch, John E. (1957), Geometry and the Continuum, p. 350 : « 3 – Nullius continui multa indivisi (...)

Ceci est vrai pour un continu ni courbé ni replié. En effet, d’après la troisième supposition, si deux indivisibles d’un certain continu non courbé peuvent être dans le même lieu indivisible, pour la même raison, le troisième et le quatrième et tous les indivisibles du continu sont dans le même lieu indivisible ; et ainsi, un certain continu serait privé de quantité, ce qui va à l’encontre des premières définitions48. 

31Les démonstrations proposées par Nicole Oresme dans son traité De proportionibus proportionum sont sur le même modèle, de même que la plupart des démonstrations présentées par Blaise de Parme dans les deuxièmes parties de ses Questiones, même si les références aux suppositions ou aux conclusions à utiliser sont en général moins présentes chez Blaise de Parme.

2.3. Le langage des conséquences et de la logique

32Il est bien connu que la logique, très développée à partir du xii^e siècle, a une place importante dans la théorie de la connaissance en cette fin de Moyen Âge. Elle est naturellement présente dans les traités de philosophie naturelle.

• 51 John E. Murdoch (1957), Geometry and the Continuum, p. 404 : « Sic igitur patet veritas antecedenti (...)

Dans le corollaire, la vérité de l’antécédent est claire [il a parlé précédemment de l’incommensurabilité de la diagonale et du côté d’un même carré, ainsi il existe bien un continu incommensurable à un autre continu]. De même, la fausseté du conséquent est claire, puisque tous les nombres ont la même commune mesure, l’unité indivise51. 

34Au cours du raisonnement, Thomas Bradwardine utilise les notions d’antécédent et de conséquent. Le corollaire est de la forme si P, alors Q, P étant l’antécédent et Q le conséquent. Selon la théorie des conséquences, il est impossible que P soit vraie en même temps que Q est fausse. Donc la conséquence est fausse.

35Ce langage des conséquences se retrouve dans le Tractatus de proportionibus, par exemple dans les preuves des thèses adverses à celle que défend Thomas Bradwardine concernant le mouvement. Ainsi, lorsqu’il réfute la thèse selon laquelle la rapidité serait égale à la différence entre la puissance motrice et la résistance du mobile, il écrit :

• 52 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 86 : « Haec autem o (...)

Mais cette opinion peut être démolie de différentes manières. […] Deuxièmement : alors il s’ensuit que, lorsque deux moteurs meuvent deux mobiles selon des espaces égaux et dans des temps égaux, ces deux moteurs ensemble ne meuvent pas ces deux mobiles ensemble précisément selon un espace égal et dans un temps égal, mais toujours selon le double. La conséquence est claire, puisque l’excès de ces deux moteurs ensemble sur ces deux mobiles ensemble est double de l’excès de l’un de ces moteurs sur son mobile. Par exemple, n’importe quel 2 excède l’unité selon une unité, et deux 2 (qui font 4) excèdent deux unités (qui constituent la dualité) selon la dualité, qui est double de l’excès de 2 sur l’unité. Et il en est ainsi pour tous les autres cas où les deux choses qui sont excédées sont surpassées de manière égale par les deux choses qui excèdent. La fausseté du conséquent est claire d’après Aristote, toujours au livre VII de la Physique, où il prouve cette conclusion : “si deux puissances meuvent séparément deux mobiles selon des espaces égaux et dans un temps égal, ces deux puissances ensemble mouvront ces deux mobiles ensemble selon un espace égal et dans un temps égal au précédent”52. 

36Comme dans le De continuo, Thomas Bradwardine réfute la thèse adverse en montrant qu’elle produit des conséquences telles que l’antécédent est vrai alors que le conséquent est faux.

37Ce langage des conséquences est aussi très présent dans De proportionibus proportionum de Nicole Oresme. Prenons un exemple mathématique, où un raisonnement de type euclidien serait plus attendu. Nicole Oresme considère deux rapports qu’il nomme A et B, et C le rapport entre A et B. Il veut montrer que si les rapports A et C sont connus, alors B est connu. Son raisonnement est le suivant :

• 53 Edward Grant (1966), Nicole Oresme, De proportionibus proportionum, p. 162, 164 : « A est proportio (...)

A est un rapport qui peut être connu et C est un rapport qui peut être connu, donc B est un rapport qui peut être connu. L’antécédent est clair, puisque A et C sont des rapports rationnels. Je prouve la conséquence : en effet, si quelque quantité peut être connue ou si elle est connue, comme A, et si le rapport de cette quantité à une autre est connue, comme est C, cette autre quantité, à savoir B, peut aussi être connue ou elle est connue53. 

38Blaise de Parme utilise lui aussi ce langage pour démontrer aussi bien des propositions mathématiques que physiques dans ses Questiones circa Tractatum proportionum. Ainsi, il démontre de la manière suivante qu’« il arrive que tout mouvement soit proportionnel à un mouvement » :

• 54 Voir à ce sujet Abdelali Elamrani-Jamal (1999), « La proposition assertorique (de inesse) selon Ave (...)
• 55 Joël Biard & Sabine Rommevaux (2005), Blaise de Parme, Questiones circa Tractatum proportionum, p.  (...)

On prouve la conclusion : cette proportion assertorique (de inesse)54 est vraie “tout mouvement est proportionnel à un mouvement”, de laquelle découle formellement la conclusion proposée. On prouve l’antécédent par induction : ce mouvement-ci est proportionnel à un mouvement car il lui est comparable, et celui-là à celui-là, et ainsi de suite. Je nie cependant cette proposition “tout mouvement est comparable à tout mouvement”, car comme il a été dit plus haut, l’augmentation n’est pas comparable au mouvement circulaire, donc etc.55.

2.4. Structure de la dispute

39Nous en venons maintenant à une autre caractéristique de ces traités, la prise en compte par les auteurs étudiés des objections qui pourraient être faites à l’encontre de tel ou tel résultat qu’ils acceptent et qu’ils ont démontré. Prenons un premier exemple, tiré du Tractatus de proportionibus de Thomas Bradwardine. Nous avons choisi cet exemple dans la partie mathématique du traité. En effet, si on comprend comment les objections peuvent entrer en jeu dans un contexte philosophique où se pratique la dialectique, c’est plus surprenant en mathématiques.

41Thomas Bradwardine soulève quatre objections à ce qu’il vient d’énoncer. La première est la suivante :

• 57 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 82 : « Sed contra i (...)

Mais on peut objecter contre cette conclusion de cette manière : soit A égal à B, C plus grand et D plus petit. Alors, d’après la cinquième supposition, C a un plus grand rapport à B que A à B, et D un plus petit. Et le rapport de A à B est d’égalité, donc etc57.

42Thomas Bradwardine considère ici deux quantités A et B égales (par exemple égales à 1), et C plus grand que A (par exemple 2). Il évoque alors la supposition 5 selon laquelle si deux quantités inégales sont comparées à une même quantité, la plus grande aura un plus grand rapport à cette quantité que la plus petite (c’est une proposition du livre V des éléments d’Euclide). Ainsi, selon cette supposition, le rapport de C à B (soit de 2 à 1) est plus grand que le rapport de A à B (soit de 1 à 1). Mais le rapport de C à B (2 à 1) est de plus grande inégalité et le rapport de A à B (de 1 à 1) est un rapport d’égalité. Ainsi, un rapport de plus grande inégalité est plus grand qu’un rapport d’égalité, ce qui contredit la conclusion démontrée précédemment par Thomas Bradwardine.

45Dans le De continuo, Thomas Bradwardine réfute les thèses des atomistes, comme nous l’avons vu. Il les nomme les falsigraphi, ceux qui posent des hypothèses fauses. Ils apparaissent dès le début du traité, dans les conclusions qui forment le cadre conceptuel dans lequel se place Thomas Bradwardine. Prenons l’exemple de la conclusion 4, où il met en scène une dispute entre un falsigraphus et lui :

• 61 John E. Murdoch (1957), Geometry and the Continuum, p. 351 : « Nullus recte multa puncta ab aliquo (...)

Plusieurs points d’une droite ne peuvent pas être également distants de l’une de ses extrémités. D’où il est clair que dans n’importe quel continu deux atomes quelconques ont des distances inégales à n’importe laquelle de ses limites61. 

46Thomas Bradwardine le justifie ainsi : « Posons que les points B et C de la ligne droite AB soient également distants de A. Il s’ensuit que AC serait égale à AB et la partie égale au tout ».

47Il imagine alors ce que pourrait rétorquer un adversaire : « Un falsigraphus dirait peut-être que AC n’est pas distincte de AB, mais que c’est bien le cas pour AD, ligne droite terminée à D, point conjoint sans intermédiaire avec B ».

48Il répond immédiatement à cette objection : « Mais cela est faux, car, suivant le falsigraphus, que D soit un point conjoint sans intermédiaire avec B entre A et B, et semblablement E un point conjoint sans intermédiaire avec C entre C et A, alors, comme auparavant, AE est égal à AD, donc la partie est égale au tout ».

49Le dialogue fictif se poursuit : « Deuxièmement, le falsigraphus cherchera à chicaner en disant que si C est conjoint sans intermédiaire avec B, AC n’est pas une partie plus petite ni plus grande que AB. » Là encore, Thomas Bradwardine répond.

50Un tel jeu entre argument et contre-argument n’est pas présent dans le traité De proportionibus proportionum de Nicole Oresme. Par contre, il est bien sûr au cœur des Questiones circa Tractatum proportionum de Blaise de Parme, reflet d’un enseignement universitaire sous forme de disputes.

Conclusion

51Comme nous l’avons souligné dans notre introduction, les textes étudiés ici mêlent mathématiques et philosophie naturelle. Que ce soit dans les parties mathématiques ou dans les parties physiques, la structure argumentative est la même. Les notions principales sont définies et des prémisses sont posées, qui sont généralement tirées des autorités. Ce sont des axiomes ou des propositions dont les démonstrations sont données ou non. Les conclusions s’enchaînent à partir de ces prémisses selon un ordre logique.

52Cette structure argumentative est parfois interrompue par la prise en compte d’objections possibles à la conclusion qui vient d’être démontrée, auxquelles l’auteur répond immédiatement. Usuelle en philosophie ou en théologie, cette apparition des objections en mathématique est plus étonnante. Nous pouvons y voir l’influence d’un contexte pédagogique, dans lequel la dispute joue un rôle important, et l’extension aux mathématiques d’un mode discursif plus adapté à la philosophie.

53Soulignons pour finir que si certaines des preuves proposées dans ces traités n’obéissent pas à la rigueur à laquelle nous sommes habitués aujourd’hui, pour ces auteurs il ne s’agit pas de simples argumentations, mais bien de démonstrations qui permettent d’accéder à la vérité sur les choses de la nature, en en montrant les causes. Ainsi, au moment où, au début du troisième chapitre de son Tractatus de proportionibus, Thomas Bradwardine introduit sa règle du mouvement après avoir réfuté les quatre opinions concurrentes, il écrit :

• 62 H. Lamar Crosby (1955), Thomas Bradwardine. His Tractatus de Proportionibus, p. 110 : « His igitur (...)

Ces nuages d’ignorance ayant été dissipés par le souffle des démonstrations, la lumière de la science et de la vérité peut resplendir. Et la science véritable pose une cinquième opinion disant que le rapport entre les rapidités dans les mouvements découle du rapport de la puissance du moteur à la puissance de la chose mue62. 

54Thomas Bradwardine est en quête de vérité et de connaissance scientifique et ce sont les démonstrations qu’il propose qui lui donnent cette vérité. Selon lui, il n’a pas seulement argumenté contre les autres opinions, il a démontré qu’elles étaient fausses, et sa propre règle présente la science véritable du mouvement.