在use_atol_rtol下，rtol is None了，atol就不可能为None了吧。use_default_tol放这里比较怪，改成use_default_atol？或者直接在kernel里判断atol=0，为0的话就视作use_default_atol。对于tol也将参数名统一为use_default_atol

看起来应该这么写？

if rtol is None:
    rtol = full([], 0.0, x.dtype)
if atol is None:
    atol = full([], 0.0, x.dtype)
    use_default_atol = True

这里的设计是有点问题，我改一下。

use_default_tol 这个参数名中的 tol 我觉得应该对应的是在 MatrixRankTolKernel 中定义的 tol_tensor，这个是 atol_tensor 和 rtol_tensor 的对比结果，所以我觉得参数名可以不用变吧

应该是atol为None时，use_default_tol=True 吧

这里 pytorch 的设计应该是 rtol 为 None 时，如果 atol 为 None 或被设为 0 就用默认 tol 值，如果 atol 设为大于 0 的值则 rtol 为 0。

相当于这样：

所以 matrix_rank_atol_rtol 里面现在改成：

if (use_default_tol) {
  判断 atol 是否为 0，
  atol 为 0 则 rtol 用默认值, tol = max(m,n)*eps*sigma_1; // atol==0 对应 atol_input = None 或 = 0.0，rtol_input = None
  atol 不为 0 则因为 rtol 此时是0, tol = max{atol, rtol*sigma_1} = atol; // 此时对应 atol_input 非 None, > 0.0，rtol_input = None
} else {
  tol = max{atol, rtol*sigma_1}
}

我觉得这段话的意思是：如果设置了atol为大于0的值，那么rtol默认就是0，如果没有设置atol（则atol默认为0），此时rtol默认是epsilon() * max(rows, cols)。所以应该根据atol来决定rtol的默认值，rtol的默认值不是自己决定的，而是atol决定的。

1. atol/rtol均不为None，则根据实际值
2. atol不为None，rtol为None（此时rtol默认值为0）
3. atol为None(默认为0)，rtol为None（此时rtol默认值为eps*max）
4. atol为None(默认为0)，rtol不为None

所以use_default_tol是决定选2还是3，也就是标记atol是否为None的。

看下面的tol也是这个逻辑，tol与atol是别名关系。

这段话要放到注释里么？

看下面的tol也是这个逻辑，tol与atol是别名关系。

如果要让语义上下保持一致的话确实 use_default_tol=True 放在 atol 为 None 的分支里合适一点。我这样写是相当于让 2 和 3 都进入 kernel 里的 use_default_tol 分支，然后根据 atol 是否为 0 来判断 rtol 是否取 eps* max 还是 0，atol 为 0 可能是atol取默认值或者用户设置的atol是 0。

那我把 use_default_tol=True 放在 atol 为 None 的分支里再改一下

这段话要放到注释里么？

Notes 的第 4 条是这段话

我觉得 atol、rtol 的输入情况是这样：

1. atol/rtol均不为None，则根据实际值
2. atol不为None且大于0，rtol为None（此时rtol默认值为0）
3. atol不为None且等于0，rtol为None（此时rtol默认值为eps*max）
4. atol为None(默认为0)，rtol为None（此时rtol默认值为eps*max）
5. atol为None(默认为0)，rtol不为None

感觉把 use_default_tol=True 放在 atol 为 None 的分支里会有问题，首先 use_default_tol=True 只能放在 4 下，不能把 4 和 5 合在一起，因为如果在kernel中判断 rtol 是否为 0 将会无法区分 rtol 的输入是 None 还是输入就是 0，也就是无法区分下面这两种情况：

x = torch.ones(size=[3, 4, 5, 5])
atol = None
rtol = None
res = torch.linalg.matrix_rank(x, atol, rtol, hermitian=True)
# tensor([[1, 1, 1, 1],
#         [1, 1, 1, 1],
#         [1, 1, 1, 1]])
# 此时 kernel 中 rtol=max(m,n)*eps

x = torch.ones(size=[3, 4, 5, 5])
atol = None
rtol = 0.0
res = torch.linalg.matrix_rank(x, atol, rtol, hermitian=True)
# tensor([[5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5]])
# 此时 kernel 中 rtol=0.0
# 理论上矩阵的 rank 值都应该是 1 ，但由于这个api的设计是取大于max(atol, rtol*sigma_1)的特征值的数量，
# 因为存在计算精度的问题，所以结果都是 5。

也没法把 3 和 4 在python端合并，在python端判断 atol==0，因为有 atol 可以取某些值为 0 的 Tensor。

所以 use_default_tol=True 只能放在 4 下，1、2、3、5 在 kernel 里面进入 use_default_tol=False 分支。
而 3 对应的计算过程可以看作是

rtol = paddle.where(atol==0, eps*max(m,n), rtol)

这样的话 3 就不能和 1、2、5 放在一起，因为同理在 kernel 中判断 atol 是否为 0 也包含 atol 在python端的输入是 None 和输入本身就是 0。比如这样就无法区分下面这三种情况：

x = torch.ones(size=[3, 4, 5, 5])
atol = 0.0
rtol = None
res = torch.linalg.matrix_rank(x, atol, rtol, hermitian=True)
# tensor([[1, 1, 1, 1],
#         [1, 1, 1, 1],
#         [1, 1, 1, 1]])
# atol=0, rtol=None 属于情况 3
# 此时 kernel 中 rtol=max(m,n)*eps

x = torch.ones(size=[3, 4, 5, 5])
atol = None
rtol = 0.0
res = torch.linalg.matrix_rank(x, atol, rtol, hermitian=True)
# tensor([[5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5]])
# atol=None, rtol=0 属于情况 5
# 此时 kernel 中 rtol=0.0

x = torch.ones(size=[3, 4, 5, 5])
atol = 0.0
rtol = 0.0
res = torch.linalg.matrix_rank(x, atol, rtol, hermitian=True)
# tensor([[5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5]])
# atol=0.0, rtol=0.0 属于情况 1
# 此时 kernel 中 rtol=0.0

所以在 kernel 里面，rtol 取的默认值是 0 还是 eps*max 的确是由 atol 决定的，但是它需要限定在 python 端 rtol=None 的情况，也就是在 python 端需要将 2、3、4 合并起来看。即 rtol=None 的情况下控制 kernel 进入同一个分支，在分支里面进一步由 atol 的值来决定 rtol 的默认值。

其次 use_default_tol 这个语义的话，我还是觉得由于它是用在 kernel 里面的，所以这个 tol 应该指的是 tol = max(atol, rtol*sigma_1) 在 kernel 里的最终计算结果，所以如果让这个变量来控制 kernel 进入 2、3、4 分支的话我觉得也能说通，因为只有 rtol=None 时 tol 的最终计算结果才有可能是 default_tol 即 eps*max*sigma_1。

目前主要问题是0和None是否算一种情况，是不是简单点，对于atol来说，0就是None，None就是0：

• 如果rtol为None
  • atol>0，则设为0
  • atol=0/None，则设为eps*max
• 如果rtol不为None
  • atol>0，则维持原设置即可
  • atol=0/None
    • 如果rtol是被设为正数，则维持原设置即可
    • 如果rtol被设为0，出现双0的情况，此时会有争议，是应该将rtol设为eps*max，还是就按双0的情形？

只有一种争议情况，解决了这个问题就可以想清楚，是否还需要加use_default这些标志位

如果rtol被设为0时，atol也被设为0，是按双0进行的计算

x = torch.ones(size=[3, 4, 5, 5])
atol = 0.0
rtol = 0.0
res = torch.linalg.matrix_rank(x, atol, rtol, hermitian=True)
# tensor([[5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5],
#         [5, 5, 5, 5]])
# atol=0.0, rtol=0.0 属于情况 1
# 此时 kernel 中 rtol=0.0

目前主要问题是0和None是否算一种情况，是不是简单点，对于atol来说，0就是None，None就是0：

• 如果rtol为None

  • atol>0，则设为0
  • atol=0/None，则设为eps*max

• 如果rtol不为None

  • atol>0，则维持原设置即可

  • atol=0/None

    • 如果rtol是被设为正数，则维持原设置即可
    • 如果rtol被设为0，出现双0的情况，此时会有争议，是应该将rtol设为eps*max，还是就按双0的情形？

只有一种争议情况，解决了这个问题就可以想清楚，是否还需要加use_default这些标志位

那看来，最后可以简化为只有2种情况了，无需标志位use_default这些：

首先atol为None时直接设为0，然后判断rtol：

• 如果rtol为None，则其将先设为0，然后在在C++中判断atol是否也为0，如果为0则再将设为eps*max。
• 如果rtol不为None，则无需任何判断与修改。

跟torch也能对上了吧，应该就是最简化的实现版本了吧，也不用标志位这些，可以把API/yaml/kernel都再简化一版。